APA LOGIKA MATEMATIKA ?

1. Mempelajari prinsip dan teknik beralasan
2. Dasar untuk memberikan pembenaran

         pada matematika dan ilmu pengetahuan

         lainnya.

    3. Mempunyai banyak penerapan praktis,

        diantaranya untuk :

        - perancangan mesin komputasi,

        - kecerdasan buatan,

        - pemrograman komputer dan

        - bidang lainnya pada ilmu komputer.

PERNYATAAN adalah kalimat deklaratif, umumnya mempunyai pola S-P-O-KPROPOSISI adalah pernyataan yang sudah dapat dipastikan benar, atau salah tetapi tidak keduanya sekaligus.

NILAI KEBENARAN suatu pernyataan didasarkan pada fakta ilmiah atau kesepakatan umum. NILAI KEBENARAN : BENAR (T=True) dan SALAH (F=False). Dalam dunia digital nilai kebenaran biasanya dinyatakan oleh 1 untuk benar dan 0 untuk salah.

CONTOH : Semua pernyataan berikut adalah proposisi

1. Jakarta adalah ibukota negara Republik Indonesia
2. Ponorogo terletak di propinsi Jawa Tengah
3. 1 + 2 = 3
4. 2 + 2 = 5

                  Proposisi 1 dan 3 bernilai benar (T)‏

                  Proposisi 2 dan 4 bernilai salah (F)

CONTOH : Perhatikan kalimat berikut

1. Jam berapakah sekarang ?

2. Silahkan masuk ke ruangan !

3. x + 2 = 3

4. x + y = z

Kalimat 1 bukan pernyataan, tapi pertanyaan. Jadi ia bukan proposisi.

Kalimat 2 bukan pernyataan, tapi permintaan. Jadi ia bukan proposisi.

Kalimat 3 adalah pernyataan, tetapi nilai kebenarannya masih bergantung

pada nilai x yang diberikan. Bila x=1 ia bernilai benar (T), namun bila x=2 ia

bernilai salah (F).

Karena nilai kebenarannya tidak pasti maka ia bukan proposisi.

Pernyataan yang nilai kebenarannya belum pasti disebut kalimat terbuka.

COBA ANALISA KALIMAT 4, KEMUDIAN SIMPULKAN APAKAH IA

PROPOSISI ATAU BUKAN !

NOTASI UNTUK PROPOSISI : p, q, r, s, . . .

Misalkan p suatu proposisi. Proposisi yang menyatakan “bukan p”

disebut NEGASI atau ingkaran dari pernyataan p, dan disimbolkan

oleh  

INGAT : Jika suatu proposisi bernilai T maka ingkarannya bernilai F,

               begitu juga sebaliknya.

TABEL KEBENARAN (TB)‏

         digunakan untuk menyajikan hubungan antara

         nilai kebenaran sejumlah proposisi.

TABEL 1 :  TB untuk proposisi dan negasinya

p	-p
T	F
F	T

      .       

MASALAH LOGIKA 1

Pada suatu komunitas mahasiswa baru terbagi dua kelompok, yaitu

kelompok pembohong yaitu mhs yang selalu berkata salah dan kelompok

penjujur yaitu mhs yang selalu berkata benar.

MASALAH LOGIKA 1 (Lanjutan)‏

Suatu ketika seorang dosen bertemu dengan tiga orang mahasiswa

yang sedang duduk di tangga; sebut saja mereka dengan A, B dan C.

Dosen tersebut bertanya kepada A, apakah A penjujur atau pembohong.

A menjawab dengan muka tertunduk sehingga jawabannya tidak jelas.

Kemudian sang dosen bertanya kepada B :”apa yang dikatakan A tadi ?”

B menjawab bahwa “ A seorang penjujur”. Eh, si C nyeletuk dan menga-

takan bahwa “B seorang pembohong”

DAPATKAH ANDA MEMASTIKAN SIAPA PENJUJUR DAN SIAPA

PEMBOHONG DIANTARA MEREKA BERTIGA ?

Petunjuk : Cukup dianalisa dengan menggunakan pernyataan da negasinya.

OPERATOR LOGIKA

Operator logika digunakan untuk membentuk proposisi baru dari satu atau

lebih proposisi yang sudah ada. Operator logika disebut juga konektivitas.

BEBERAPA KONEKTIVITAS:

1. Negasi
2. Konjungsi
3. Disjungsi
4. Disjungsi eksklusif
5. Implikasi  
6. Implikasi dua arah

KONJUNGSI

DEFINISI : Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposi “p dan q” ditulis p    q adalah proposisi yang bernilai benar jika kedua p dan q benar dan  bernilai salah untuk kasus lainnya. Proposisi p    q disebut konjungsi dari p dan q.

Contoh

1. Misalkan p : Hari ini Jumat, q : Hari ini hujan.maka p    q : Hari ini Jumat dan hujan.Bagaimana nilai kebenarannya. Sangat tentatif, tergantung pada keadaan disaat pernyataan ini diungkapkan.

2. Misalkan p : Ada 7 hari dalam seminggu, q : 2+2 = 4, maka p    q : Ada 7 hari dalam seminggu dan 2+2 = 4. Proposisi ini yang bernilai benar.

 DISJUNGSI

DEFINISI : Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposi “p atau q” ditulis p    q adalah proposisi yang bernilai salah jika kedua p dan q salah dan bernilai benar untuk kasus lainnya.

Contoh

Diperhatikan proposisi berikut :

“Mahasiswa yang sudah mengambil kuliah kalkulus atau kuliah algoritma pemrograman boleh mengambil kuliah metoda numerik.

Sesungguhnya kita mempunyai bentuk disjungsi p      q,dimana

 p : Mhs yang sudah kuliah kalkulus boleh ambil numerik

 q : Mhs yang sudah ambil algoritma boleh ambil numerik

PENYEBUTAN LAIN UNTUK p     q :

1. p berimplikasi q
2. p berakibat q
3. q hanya jika p
4. p adalah syarat cukup q

q adalah syarat perlu Beberapa kemungkinan mhs yang boleh ambil numerik :

1. Mhs yang sudah mengambil kuliah kalkulus saja
2. Mhs yang sudah mengambil kuliah algoritma saja
3. Mhs yang sudah mengambil keduanya. 

EKSKLUSIF OR (XOR)

DEFINISI : Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi  “salah satu p atau q” ditulis p    q adalah proposisi yang bernilai benar jika tepat satu diantara p atau q BENAR,  dan bernilai salah untuk kasus lainnya.

   IMPLIKASI

DEFINISI : Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposi “jika p maka q” ditulis p     q adalah proposisi yang bernilai salah jika p benar tetapi q salah dan bernilai benar untuk kasus lainnya

PENYEBUTAN LAIN UNTUK p     q :

1. p berimplikasi q
2. p berakibat q
3. q hanya jika p
4. p adalah syarat cukup q adalah syarat perlu

CONTOH MENARIK

Misalkan p : soal ujian yang diberikan oleh guru

               q : jawaban yang diberikan oleh siswa

Nilai kebenaran dari p      q diilustrasikan sbg penilaian guru :

•      Bila soal ujian benar, jawaban juga benar maka nilainya lulus

•      Bila soal ujian benar, jawaban salah maka nilainya harus gagal

•      Bila soal ujiannya salah, dijawab benar maka nilainya lulus

•      Bila soal ujiannya salah, dijawab salah maka nilainya lulus

CONTOH : Diperhatikan kalimat implikasi berikut :

“Jika belanja anda melebihi 1 juta rupiah maka akan diberikan diskon 2%.”

Toko hanya memberikan perlakuan terhadap pelanggan dengan nilai

belanja melebihi 1 juta tetapi tidak membahas belanja yang kurang

dari 1 juta rupiah.  

CONTOH : “Jika hari ini Senin maka 2 + 3 = 5” merupakan proposisi yang benar walaupun kedua proposisi aslinya tidak berhubungan.

Bentuk Jika …. Maka

Dalam pemrograman komputer  .

 Diperhatikan pernyataan berikut :

        “Jika x < 3 maka x = x + 1”

•        Bila sebelum pernyataan ini diberikan x = 2 maka akan dihasilkan nilai x yang baru, yaitu x = 2 + 1 = 3

•        Bila sebelumnya diberikan x = 4 maka tidak ada pembaharuan (updating) nilai x. Hasilnya tetap, yaitu x = 4.

Coba analisa pernyataan berikut :“Jika 2+2=4 maka x = x^2+1”. Berapa hasilnya jika diberikan x=1, 2, 4”

m banyak pemrograman komputer, bentuk “jika … maka” biasanya

muncul dalam bentuk berlapis, seperti

             “jika ……(jika…..(jika …..maka.…)…..maka)….maka….”